Indice
HISTORIAS COMPRIMIDAS DAS MATEMÁTICAS
O home comezou a ter as primeiras nocións matemáticas, relacionadas co conteo de pezas de caza e dos días, fai miles de anos como proban algúns descubrimentos arqueolóxicos. A aritmética sería a primeira rama da matemática en aparecer. Entre os achados destaca un pequeno óso de babuino duns 37.000 anos de antigüidade atopado en Swazilandia, no sur de África, que presenta unha serie de marcas ou raias que inducen a pensar en que eran utilizadas para contar. Outro resto é un óso de lobo duns 32.000 anos de antigüidade atopado na República Checa, as marcas do cal están en grupos de cinco, o que parece indicar o uso dun sistema de numeración baseado nos dedos das mans. Un resto máis moderno é o óso de Ishango, atopado na fronteira de Uganda e Zaire, no que as marcas están feitas en grupos de 60, o que suxire que aqueles homes tiñan certos coñecementos da natureza (fases da lúa, movementos dos astros, ...). Este sistema sesaxesimal aínda é usado na división do tempo en horas, minutos e segundos; ou no sistema sesaxesimal de medición de ángulos (1 grao= 60 minutos, 1 minuto= 60 segundos). A asignación á unha circunferencia completa de 360º procede do cálculo aproximado da duración dun ano: 365 días. O costume de usar a ducia ou a media ducia para contar certos productos, como os ovos, procede deste sistema de numeración (12 é a quinta parte de 60).
Os xogos de azar e a probabilidade
Parece evidente que os xogos de azar xa existían na Prehistoria. O primeiro dado que se coñece está datado no terceiro milenio antes de Cristo, e foi atopado en Irak. Tamén se atoparon dados en Exipto. As cartas apareceron no século XV. En 1526 publicouse o primeiro libro sobre cálculo de probabilidades "Liber de ludo alea" (Libro dos xogos de azar) obra de Gerolamo Cardano. A finais do XVII, cando acababa de nacer o cálculo de probabilidades, aparecen as compañías de seguros e a recopilación sistemática de gran cantidade de datos: nacementos, enfermidades, censos, defuncións, etc.
Chámanse así ás civilizacións mesopotámicas que existiron entre o ano 2000 a.C. e o 600 a.C. Utilizaron para escribir pequenas táboas de arxila, moito máis resistentes que os papiros exipcios, motivo polo cal chegou ata os nosos días moita máis información sobre Mesopotamia que sobre as matemáticas exipcias. Sabían pasar números dun membro a outro dunha ecuación sumando igualdades, e eliminar fraccións multiplicando tódolos números por cantidades iguais. Non usaban letras para as incógnitas, pois ¡aínda non se inventara o alfabeto!
As primeiras cifras apareceron aproximadamente 4000 anos antes de Cristo en Elam entre os sumerios da Baixa Mesopotamia. A primeira escritura alfabética coñecida apareceu en cambio máis tarde, aproximadamente 2000 anos antes de Cristo entre os fenicios. Os sistemas de numeración (contar) e os alfabetos (ler e escribir) son dúas das máis grandes creacións da especie humana.
O século dourado da matemática grega
Coñécese con este nome ao primeiro século da época Helenística, correspondente ao século III a.C. (300-200). Tres matemáticos sobresalen neste século: Euclides, Arquímedes e Apolonio.
As cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e os números que formamos con elas chámanse indoarábigos. Chegaron a Europa a través de España, mediante a traducción á lingua árabe dun libro de aritmética que foi escrito na India aproximadamente no ano 800 despois de Cristo. A referencia máis antiga dos números naturais en Europa é o "Codex Vigilanus", do monxe rioxano Vigila, datado no ano 976. Posteriormente estes números traducíronse do árabe ao latín, e foron cambiando de forma ata chegar a que teñen actualmente.
Chámase álxebra á parte das matemáticas que utiliza letras para representar cantidades descoñecidas. Estas cantidades descoñecidas teñen o nome de incógnitas, variables ou indeterminadas. A palabra álxebra procede do árabe "al-yabra", que tiña o significado de "regra para transformar igualdades". Unha parte fundamental da álxebra é a resolución de ecuacións. A palabra ecuación procede da palabra latina "aequatio", que significa "igualdade". Os babilonios, exipcios e gregos xa coñecían algunhas regras para resolver ecuacións, pero foi o matemático árabe Al-Khowarizmi quen escribíu, contra o ano 840 d.C., a obra "Aljabr wa'l muqabalah" que reúne os métodos coñecidos para resolver ecuacións. A principios do século XII foi traducido ao latín por Juan de Sevilla e Gerardo de Cremona, co nome de "Liber algebrae et mucabala". Durante a Idade Media o libro de álxebra máis famoso foi o "Liber abaci" escrito por Fibonacci. Na Idade Moderna, o francés Vieta (1540-1603) na súa obra "In Artem Analyticam Isagoge", introduce a álxebra simbólica, é dicir o uso das letras para representar tanto as cantidades coñecidas como as incógnitas, de forma moi semellante a como se utilizan na actualidade; prodúcese así o último paso no proceso de abstracción.
Os números irracionais e a medida
A orixe histórica dos números está na medida de diversas magnitudes: lonxitudes, áreas, etc. Se tomamos un segmento fixo como unidade para medir a lonxitude doutros segmentos, sucede moitas veces, como demostraron os gregos, que ni con esa unidade ni con ningunha das súas partes iguais podemos medir exactamente un determinado segmento. O único que se pode facer para medir un destes segmentos "indomables" é ir aproximando a súa medida cada vez máis, obtendo cada vez máis decimais.
As raíces, sobre todo cadradas e cúbicas, foron utilizadas en Babilonia fai 4000 anos. Moitas delas, case todas as que non son exactas, representan números irracionais, é dicir con infinitas cifras decimais que non se repiten en grupos ou secuencias coñecidas, a pesar do cal non houbo remilgos en operar con eles, por exemplo os alxebristas árabes. Foi en 1870-1880 cando se formalizou unha boa definición dos números irracionais, o que non impedíu que se usasen dende miles de anos atrás.
A palabra tanxente procede da palabra latina "tangere" que significa "tocar". E a palabra secante procede da palabra latina "secare" que significa "cortar". Isto é útil para comprender a diferencia entre recta tanxente e recta secante á unha curva.
A resolución de problemas tamén se coñece como heurística, palabra que provén do grego heurisko, que significa atopar. Relacionada con esta palabra está o famoso ¡Eureka! de Arquímedes (¡Atopeino!).
En 1494 publicou a "Summa de arithmetica", unha compilación dos coñecementos aritméticos, alxebraicos, xeométricos e comerciais do seu tempo. Soupo valorar ben a importancia crecente que ía adquirindo a aritmética comercial en Italia. Foi o primeiro libro impreso sobre aritmética e álxebra. Por esa época utilizábanse as letras p para a suma (do latín plus) e m para a resta (do latín minus). Pacioli usou para a incógnita "cousa" a sílaba "co"; para a incógnita elevada ao cadrado "censo", a sílaba "ce"; e para o signo igual "aequalis", a sílaba "ae".
A aparición dos símbolos matemáticos básicos
Ainda que parecería o contrario, os símbolos das operacións matemáticas básicas son bastante recentes. No século XVII, por exemplo, aínda se usaban as letras p de "plus" para a suma, m de "minus" para a resta, R.q. para a raíz cadrada e R.c. para a raíz cúbica. Os símbolos da suma (+) e da resta (-) apareceron por primeira vez nun libro de aritmética comercial no ano 1489, escrito por Johann Widman, inspirándose nos símbolos que indicaban exceso e defecto nos libros de contabilidade. O símbolo de igualdade (=) inventouno Robert Recorde en 1557, pero o seu uso non se xeneralizou ata un século despois. Os símbolos da multiplicación (x) e a división (:) foron usados por primeira vez en 1657 por William Oughtred. O francés Albert Girard (1595-1632) na súa obra "Invention Nouvelle en Algebre", introduce por primeira vez o uso dos parénteses, explica o método de descomposicion dun polinomio en factores, e usa ademáis o signo ____ colocado entre o numerador e o denominador para indicar unha fracción. En tempos de Newton a escritura alxebráica era moi semellante á actual.
Así é coñecido, na historia das matemáticas, o século XVII. A causa que xustifica este nome é ben clara se lembramos a categoría dos titáns que crearon o xerme da matemática e a física dos séculos posteriores, partindo prácticamente da nada. No século XVII os científicos esforzáronse en resolver catro problemas fundamentais: calcular a velocidade e aceleración instantánea; determinar a recta tanxente a unha curva para poder estudiar cuestións de óptica e cinemática; optimizar unha función para conseguir, por exemplo, o alcance máximo dun cañón ou determinar o perihelio e afelio dun planeta; e a obtención de lonxitudes de curvas e áreas e volumes limitados por curvas. Esto levou ao nacemento do cálculo infinitesimal. Este século comeza con Galileo e Kepler e remata con Newton e Leibniz, pasando por Descartes, Fermat e Pascal.
Descartes e as coordenadas cartesianas
A xeometría da Grecia antiga só usaba instrumentos como a regra e o compás para demostrar os seus teoremas, o que implicaba que as figuras fosen complicándose cada vez máis. A comezos do século XVII Descartes introduxo a álxebra na xeometría para poder aproveitar as ventaxas do cálculo alxebraico nas figuras como puntos, rectas, curvas, planos, etc. As coordenadas dun punto chámanse "cartesianas" e non "descartianas" porque o nome latinizado de Descartes era Cartesius. Foi Descartes quen primeiro utilizou as letras a, b, c, d, ... para representar números coñecidos e quen decidíu que o outro extremo do alfabeto ... , x, y, z, representase ao descoñecido. Tamén foi el quen comezou a escribir x^2 en lugar de x.x, ou x^3 en vez de x.x.x.
A orixe do concepto de función
A idea de función aparece no momento en que se relacionan dúas variables. Os babilonios e exipcios xa tiñan unha idea rudimentaria de función. Pero o momento en que se usa este concepto por primeira vez é no comezo do século XVII cos traballos sobre mecánica de Galileo Galilei, relacionados coas traxectorias de distintas clases de movementos. Un antecedente de definición de función débese ao matemático e astrónomo escocés James Gregory (1638-1675), para quen unha función era unha cantidade obtida a partir doutras mediante operacións alxebraicas calesquera. Pero foi Johann Bernoulli quen deu a definición de función por primeira vez; para el unha función era unha cantidade formada, con calquer operación, a partir de variables e constantes; introducindo deste xeito o concepto de variable, que é fundamental, xa que a partir del, Euler (1707-1783) sistematizou o estudio das funcións. Entre outras clasificacións, Euler dividíunas en trascendentes e alxebraicas, e estas últimas subdividíunas en racionais e irracionais. Foi Euler quen introduxo o símbolo de función: f(x).
Fermat, o príncipe dos matemáticos afeccionados
Pierre Fermat (Beaumont de Lomagne, 1601-Castres, 1665) estudiou Leis na Universidade de Toulousse, cidade na que traballou como maxistrado case toda a súa vida. Debido a que nunca ocupou ningún posto nunha universidade, e que as matemáticas foron para el unha afección, Fermat é coñecido como "o príncipe dos matemáticos afeccionados". De todas maneiras o valor indiscutible das súas aportacións, especialmente na teoría de números iniciada por Diofanto en Grecia, e "raíña das matemáticas" según Gauss, fan del un dos matemáticos máis célebres do século XVII. Foi cofundador, xunto co seu compratiota e contemporáneo Descartes, da xeometría analítica, pero debido á súa falta de costume en publicar os seus traballos, cousa que a penas fixo na súa vida, foi Descartes quen levou a maior parte dos honores.Fermat tiña a manía de escribir nas marxes dos libros que lía, gracias ao cal puideron chegarnos magníficas demostracións, pero lamentablemente, debido a que consideraba as matemáticas como un pasatempo, algúns dos seus traballos perdéronse. Entre estas notas é famosa a que deixou escrita, en 1637 na marxe do seu exemplar da "Arithmetica" de Diofanto, cando afirmou, dentro do ámbito das ecuacións diofánticas: "Non existe unha terna de números naturais que verifique a ecuación a^n + b^n = c^n, onde a, b, c e n son números naturais e n>2. Descubrín unha proba marabillosa deste feito pero excede a marxe deste libro". Para n=2 está claro que sí existe solución, por exemplo, con 3^2+4^2=5^2. Esta suposición é coñecida como "derradeiro teorema de Fermat" ou tamén "gran teorema de Fermat", e trátase da xeneralización do teorema de Pitágoras para números enteiros e expoñentes maiores de 2. En 1908 Paul Wolfskehl, pouco antes de morrer, deixou no seu testamento a orde de entregar 100.000 marcos para a primeira persoa que demostrase o teorema de Fermat, sempre que fose antes do 13 de setembro do ano 2007. Esto provocou o maior número de demostracións falsas da historia das matemáticas. Durante tres séculos e medio, e tras múltiples intentos de demostración, en xuño de 1993 Andrew Wiles, matemático en Princeton, anunciou unha nova proba do teorema. Revisados os cálculos descubríuse un fallo nos razonamentos, pero tras ano e medio de traballo de Wiles xunto con Richard Taylor, profesor en Cambridge, deron coa demostración correcta.
A idea de que a derivada dunha función nun extremo relativo debe ser nula foi exposta por Fermat, quen é considerado precursor do cálculo de derivadas. Ás veces chámase principio de Fermat á condición de extremo: f´(x)= 0. O cálculo de máximos e mínimos é unha das aplicacións máis importantes da derivada, por exemplo en enxeñería, economía e nas propias matemáticas.
En 1730 De Moivre, no seu libro "Miscellanea Analytica", obtivo por primeira vez a curva normal como unha aproximación da binomial. Ainda que a distribución normal foi descuberta por varios científicos, entre os que destaca De Moivre, a súa ecuación explícita débese a Gauss, de quen toma o nome de campá de Gauss. Esta distribución é tan frecuente na práctica que nos primeiros tempos da estatística pensouse que era a ley universal do azar, según se pode comprobar nalgunhas citas de Galton.
A trigonometría, Napoleón e o metro
Un país que tivo moita influencia no desenvolvemento das matemáticas foi India, as súas invencións e descubrimentos chegaron a Europa a través dos árabes na Idade Media. De ahí procede o sistema de numeración posicional e a trigonometría, que ainda que coñecida nos seus conceptos básicos na Grecia clásica por Hiparco e Tolomeo, foi desenvolvida case por completo, principalmente desde o século V ao X, por matemáticos indios como Aryabhata, Varahamihira e Brahmagupta. Unha das aplicacións da trigonometría é o cálculo de distancias, entre puntos inaccesibles, por triangulación, en particular a distancia entre o polo norte e o ecuador. No século XVIII o avance do comercio esixía un novo sistema de pesos e medidas que facilitase os intercambios, e así o 10 de decembro de 1799 Napoleón estableceu o sistema métrico decimal, do cal o metro (do latín metrum, medida) era a unidade básica. O metro definíuse como a dezmillonésima parte da distancia entre o polo e o ecuador.
O príncipe, a raíña das matemáticas e o teorema fundamental da álxebra
Gauss (1777-1855), o "Príncipe dos matemáticos", chamaba á Teoría de Números a "Raíña das matemáticas". En 1799, cando tiña 22 anos, demostrou por primeira vez na historia, na súa tese doutoral que defendeu na Universidade de Gotinga (Alemaña), un dos teoremas básicos das matemáticas, o teorema fundamental da álxebra, que afirma que calquera ecuación polinómica de grao n con coeficientes reais ou complexos ten n solucións complexas, algunhas das cales poden estar repetidas. Esta demostración é unha das máis importantes de toda a historia das matemáticas.
En inglés en lugar de falar de sistemas de ecuacións escríbese literalmente, "ecuacións simultáneas" (simultaneous equations). Isto é o que significa realmente un sistema de ecuacións: un grupo de ecuacións que se deben satisfacer simultáneamente.
A matemática alemana do século XIX
A matemática crecera vigorosamente durante o século XVIII, pero empezaba a terse a impresión de que era un xigante cos pés de barro. A finais dese século sentíuse a necesidade de fundamentar rigurosamente unha serie de conceptos cos se traballaba demasiado alegremente ata entón. Berkeley, na metade dese século, chegou a chamar verdadeiras "pantasmas" ás cantidades infinitesimais. A derrota político-militar de Prusia ante Napoleón en 1806 foi sentida con humillación, ante o que se diseñóu un programa de rexurdimento nacional por medio dunha reactivación moral e cultural, consecuencia da cal é a creación do Ministerio Prusiano de Instrucción Pública, a obrigatoriedade de educación pública para tódo-los rapaces a partir de 1794, e a creación da Universidade de Berlín en 1810. Boa parte desta refundación matemática foi elaborada no século XIX nas universidades alemanas, de Berlín e Gotinga principalmente, ao longo do século XIX con matemáticos como: Jacobi, Dirichlet, Steiner, Weierstrass, Kronecker, Gauss, Riemann, Klein e Hilbert. Este impresionante plantel de personalidades construirá a base de toda a matemática actual. O concepto formal de límite dunha función nun punto, na súa notación épsilon-delta de todos coñecida, débese ao matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897).
Indice