CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

Dominio y recorrido

 

 

Gráfica de una función

 

Si recordamos, la gráfica de una función se obtiene al representar en los ejes cartesianos todos los pares (x,f(x)) posibles. Cambia con el ratón la posición de los puntos rojo y azul. Observa que si cambia x, cambia f(x) (el valor de f(x) es el cuadrado del valor de x. f(x)=x2) :
 

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J.B.Búa, Creado con GeoGebra

 

Las funciones tienen una serie de características que se reflejan en la forma o aspecto de su gráfica:

 

Dominio de definición. Recorrido

 

El dominio de definición de una función lo forman los números de los que se puede calcular su valor por la función. Dicho de otra forma, es el conjunto de origenes que posen imagen.

También se puede representar por D(f). Por ejemplo:

- En el caso de un cociente, podemos calcular el valor por la función de cualquier número excepto si da lugar a un cero en el denominador.

De podemos calcular todos los valores para todos los x excepto para x=0 porque obtendríamos  , valor que no se puede calcular (como número real). Su dominio sería (todos los números reales excepto el 0)

El dominio de sería . Es necesario excluir la solución de x-3=0, puesto que no tiene valor real. El cálculo del dominio de un cociente se reduce, por tanto,  a resolver la ecuación denominador=0, excluyendo las soluciones de la ecuación del dominio de la función.

- En el caso de una raíz, podemos calcular el valor siempre y cuando el número del que calculamos la raíz sea mayor o igual a cero. De podemos calcular f(x) si . Su dominio será: D(f)=[0,). Si , su dominio será (solución de ), o lo que es lo mismo D(f)=[3,). Si la función fuese , el dominio sería (, soluciones de ). Así, los cálculos de los dominios de raíces se realizan resolviendo una inecuación:

 

- En el caso de los logaritmos, ocurre algo parecido a lo que ocurre con las raíces: sólo es posible calcular el valor de un logaritmo si el número es mayor que cero. Así f(x)=log(x-3) tendrá dominio (3,), solución de x-3>0. El dominio de f(x)=log(x2-4) será , solución de x2-4>0. Es decir, lo que se encuentra dentro del logaritmo>0

 

El dominio influye en la forma de la gráfica. Los puntos que no forman parte del dominio son puntos donde no se puede representar la gráfica (no hay valor de f(x). A continuación aparecen algunos ejemplos:

 

 

 

D(f)=[0,)

 

 

f(x)=log(x-3)

D(f)=(3,)

 

f(x)=log(x2-4)

 

 

El recorrido lo forman las imágenes de la función. Es decir . También se representa por Im(f) o imagen de f.
Es decir, el recorrido lo forman el conjunto de puntos del eje y al que corresponde algún punto del eje x por la función.

 

f(x)=x+3

R(f)=(-,)

f(x)=x2

R(f)=[0,)

 

f(x)=x4-2x2

R(f)=[-1,)

f(x)=sen(x)

R(f)=[-1,1]

 

.