4- Cálculo de probabilidades para unha binomial

Cando se realiza un experimento binomial é lóxico formularse a probabilidade de obter un número determinado de éxitos. Máis concretamente, se X é B(n,p) queremos calcular p(X=k), é dicir a probabilidade de obter k éxitos. Na seguinte escena aparece representada, mediante un diagrama de árbore, unha binomial de 4 tiraxes (n =4), utiliza a frecha tirada da parte inferior da escena para simular os sucesivos lanzamentos.

Calcular a probabilidade dunha rama concreta é relativamente sinxelo. Por exemplo, a probabilidade de obter os tres primeiros resultados "éxito" e o último "fracaso" sería igual a:

p(éxito_1,éxito_2, éxito_3,fracaso_4)=p·p·p·q = p3q

xa que o resultado de cada unha das tiraxes non inflúe no seguinte resultado.

Polo tanto, a probabilidade de obter cada unha destas ramas coincide co produto de todas as probabilidades que aparecen reflectidas nela.

Máis difícil parece contar o número de ramas nos que aparecen, por exemplo, tres éxitos e un fracaso. Vas practicalo no seguinte exercicio.

Exercicio 4:

Observando o diagrama anterior, responde aos seguintes apartados:

  1. ¿Canto terá que valerp para que todas as ramas do diagrama teñan a mesma probabilidade?

  2. Copia a seguinte táboa no teu caderno e complétaa:

Binomial de catro tiraxes, número de ramas con:

0 éxitos

1 éxito

2 éxitos

3 éxitos

4 éxitos

  1. Coa axuda da táboa anterior é doado calcular, por exemplo,

p(X=1) =4 (ramas) · probabilidade de cada unha de elas =4 p3q,

Razoando é este xeito calcula p(X=0), p(X=1), p(X=2), p(X=3) e p(X=4).

  1. Imaxínate que engades ao diagrama de árbore anterior unha nova tiraxe. ¿Cantas ramas tería?. Se pensas que para obter tres éxitos en 5 tiraxes debes de obter:

- ou ben dous éxitos nas catro primeiras e un máis na quinta

- ou ben tres éxitos nas catro primeiras e un fracaso na quinta,

completarás sen dificultade a seguinte táboa:

Binomial de cinco tiraxes, número de ramas con:

0 éxitos

1 éxito

2 éxitos

3 éxitos

4 éxitos

5 éxitos

Decataraste de que acabas de obter a quinta fila do triángulo de Tartaglia.

  1. Os números do triángulo de Tartaglia reciben o nome de números combinatorios e poden escribirse con distintas notacións. Nós imos representar       por Cn,m o número que ocupa a posición número m dentro da fila n, tendo en conta que as posicións as empezamos a contar dende m =0. Así por exemplo, a cuarta fila do triángulo sería:

C4,0=1, C4,1=4, C4,2=6, C4,3=4 e C4,4=1.

Calcula: C5,0, C5,2, C5,4, C6,4 e C6,2.

5- Distribución de probabilidade dunha binomial

No exercicio anterior obtivemos que para unha B(n,p) verifícase:

p(X=0)

p(X=1)

p(X=2)

...

p(X=k)

...

p(X=n)

Cn,0·p0·qn = qn

Cn,1·p1·qn-1 = n ·p·q(n-1)

Cn,2·p2·q(n-2)

...

Cn,k·pk·q(n-k)

...

Cn,n·pn·q0 = pn

No seguinte exercicio vas aprender a utilizar esta táboa para valores concretos de n e p.

Exercicio 5:

Observa a seguinte escena, está preparada para que aprendas a obter a función de probabilidade dunha binomial concreta. Utiliza as frechiñas  da parte inferior da escena para seleccionar o valor de p e o valor de n.

  1. Obtén no teu caderno, coa axuda da calculadora, a función de probabilidade da B(4, 0.4) e cando remates comproba o teu resultado utilizando a frecha solución.

  2. Repite o exercicio anterior para B(5, 0.45).

  3. Se X é unha B(6,0.3) calcula p(X =4), p(X >4) e p(X >1).

  4. Calcula p(X >0), P(X <8) e p(3 <X <6), se X é un distribución B(8,0.5).

  5. Nunha distribución binomial podes obter a media (número de éxitos que esperamos obter en n tiradas) e a desviación típica mediante as fórmulas:

Calcula a media e as desviacións típicas da B(5,0.45) e da B(8,0.35). Comproba que obtés os mesmos valores que na escena.

 

  

 Volta ao Menú Seguinte